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Topologie
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Mathematik - Topologie

topologische Fingerübungen - in Arbeit

Eine schlaflose Nacht bringt die merkwürdigsten Ideen hervor, zB ob man mit der 7-Segmentanzeige eines Radioweckers topologische Grundbegriffe veranschaulichen kann. Da liest man was über die "Definition eines topologisches Raumes" und meint, das das schon gehen müsste.

 

Hilfsmittel: Ein Vektorzeichenwerkzeug wäre ganz nützlich.

 

Eine Siebensegmentanzeige ist so bekanntlich etwas wie die eckige '8' in der folgenden Reihe, bei der also alle sieben Segmente 'leuchten':
7SegmentZiffern
Damit kann man - wie man sieht - alle Ziffern des Zehnersystems darstellen.
Aber wer ist nun die dem topologischen Raum zugrunde liegende Menge X? Nehmen wir einfach "_" und "|" eines Karoblattes und alle daraus zusammengesetzten 'Figuren'. Dann gelten ganz sicher die nebenstehend aufgeführten Def 1 - Def 3. Also haben wir ein Modell eines topologischen Raumes.
Die Ziffern 1 - 0 sind dann wohl eine Teilraumtopolgie im Sinne von Lilienbeck.
So, und dann geht es ans Experimentieren, ohne uns weiter mit theoretischem Ballast zu belasten.
 
 
 
De finition Ein topologischer Raum (X;O) ist eine Menge X und eine Menge O von Teilmengen von X, so dass gilt:

 

Definition

O heißt die Topologie von (X;O).

Quelle: Katharina Lilienbeck, Uni Regensburg, 10/2008

Eine topologische Frage ist etwa, wie verschieden die oben gezeigten Ziffern eigentlich sind. Als Werkzeug dürfen wir wie an einem Gummiband ziehen, stauchen und klappen, aber ja nicht auftrennen und auch noch nicht verkleben:
 
Damit erweist sich die Eins topologisch gleich zur Zwei!
 
Und wie viele echt verschiedene 'Figuren' enthält nun unsere Teiltopologie?
 
Die 1, die 2, die 5 und die 7 sollten also zur 1 verformen lassen, oder?
Die 3 und die 4 behalten immer irgendwie einen Zipfel: ___|___
Die 6 und die 9 sind eine geschlossene Figur mit einem Zipfel
Die 0 ist einfach eine einfache geschlossene Figur ohne Zipfel.
Die 8 ist dann eine doppelte geschlossene Figur ohne Zipfel.
Fünf verschiedene Figuren also, oder? Bitte ausprobieren
EinsGleichZwei
Was da eigentlich ganz einfach aussieht, widersetzt sich schon ein wenig einer mathematisch hierb- und stichfesten Definition, denn da muss man wohl 'Abbildungen' definieren ...
Die beiden einfachsten Elemente von X sind wohl | und _ . Hat X vielleicht eine Basis? Die Dimension wäre dann 2, aber irgendwie wäre 'eindimensionl' wahl passender ...
Ob X vielleicht messbar ist. Jedenfalls müsste man erklären, dass "____" die Länge 1 hat, weil dieses Element ja zu "_" äquivalent ist. Dann hätte '2' die Länge 5, ist aber andererseits zu "|" äquivalent ....